Question

已知函数f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列x_n的项满足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，试求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想数列x_n的通项，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．我们可以构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即得到函数f（x）的表达式；
（2）根据x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，我们分别令n=1，2，3，4，即可法求出x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）根据（2）中数列的前4项，分析他们之间呈现的规律，归纳推理后，即可得到数列x_n的通项公式，然后利用数学归纳法，即可证明结论．

解答：解：（1）∵f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴

b+1

(a+1)2

=log₁₆2=

1

4

，

-2b+1

(-2a+1)2

=1
解得：

a=1 b=0

∴函数f(x)=

1

(x+1)2

（2）由（1）中f(x)=

1

(x+1)2

∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
当n=1时，x1=

3

4

．
当n=2时，x2=

4

6

，
当n=3时，x3=

5

8

，
当n=4时，x4=

6

10

（3）由（2）中结论我们易得：xn=

n+2

2(n+1)

．
当n=1时，结论显然成立
设n=k时，结论成立，即xk=

k+2

2(k+1)

则当n=k+1时，xk+1=xk•[1-

1

(k+2)2

]=

k+2

2(k+1)

•[1-

1

(k+2)2

]=

(k+2)+1

2[(k+1)+1]

即n=k+1时，结论也成立．
故xn=

n+2

2(n+1)

．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求出及数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．