Question

多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．

　 　

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：PA⊥平面PDC.

Answer 1

由多面体PABCD的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰直角三角形，PA＝PD＝，且平面PAD⊥平面ABCD.

(1)连接AC，则F是AC的中点，

又∵E是PC的中点，

∴在△CPA中，EF∥PA，

又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.

∵△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝.

即PA⊥PD.又CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PDC.