Question

6．平面上A、B、C三点不共线，O是不同于A、B、C的任意一点，若（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=0，则△ABC的形状是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 画出相对应的图形，根据向量的夹角的几何意义可知$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{AD}$=0，继而得到OD⊥AD，再得到AD⊥BC，问题得以解决．

解答 解：如图所示D为BC边的中点，
∵（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=0，
∴2$\overrightarrow{OD}$•2$\overrightarrow{AD}$=0，
∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{AD}$=0，
∴OD⊥AD，
∴AD⊥平面OBC，
∴AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：A．

点评 本题考查了向量的数量积和向量的垂直的条件以及线面垂直判断定理和性质定理，属于中档题