Question

11．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，M点是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM（端点除外）上是否存在点P使得PC⊥BM？

Answer 1

分析 以B为原点，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，得到$\overrightarrow{BM}$的坐标表示，假设存在点P（x，y）在线段BM上使得PC⊥BM，列方程组解出即可．

解答 解：如图所示，
以B为原点，建立平面直角坐标系，
作AD⊥BC，垂足为D：
∴易得A（3，4），M（4，$\frac{8}{3}$），C（6，0），
∴$\overrightarrow{BM}$=（4，$\frac{8}{3}$），
假设存在P（x，y）在线段BM上使得PC⊥BM，
∴$\overrightarrow{CP}$=（x-6，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y-\frac{8}{3}x=0}\\{4（x-6）+\frac{8}{3}y=0}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{54}{13}$，y=$\frac{36}{13}$；
∴存在P（$\frac{54}{13}$，$\frac{36}{13}$）在BM上，使得CP⊥BM．

点评 本题考查了等腰三角形性质，考查了向量的应用，考查了两直线垂直的关于向量坐标的性质，是综合性题目．