Question

18．已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）cosA的值；
（2）若b²+c²=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得cosA的值．
（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=2$，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC
⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，
又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，
∴$2cosA=1⇒cosA=\frac{1}{2}$．…（6分）
（2）由$cosA=\frac{1}{2}⇒sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=2⇒a=2sinA=\sqrt{3}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA⇒bc=b²+c²-a²=4-3=1．…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．