Question

11．如图，ABCDEF为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
（Ⅰ）证明直线BC∥EF；
（Ⅱ）求棱锥F-OBED的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设G是线段DA与EB延长线的交点．由已知条件推导出OB，OC，的关系，然后证明BC∥EF．
（Ⅱ）求出棱锥的底面面积，求出四棱锥F-OBED的高，然后求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点．
由于△OAB与△ODE都是正三角形，
∴OB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，OG=OD=2，
同理，设G'是线段DA与FC延长线的交点，有OG'=OD=2．
又由于G和G'都在线段DA的延长线上，
∴G与G'重合．在△GED和△GFD中，
由OB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE和OC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，
知B和C分别是GE和GF的中点．
∴BC是△GEF的中位线，
故BC∥EF．
（Ⅱ）由OB=1，OE=2．∠EOB=60°，可知：${S}_{△EOB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，而△OED是边长为2的正三角形，
所以，${S}_{△OED}=\sqrt{3}$所以${S}_{△BED}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，过点F作FQ⊥AD，交AD于Q，
由平面ABED⊥平面ACFD可知FQ是四棱锥F-OBED的高，且FQ=$\sqrt{3}$．
所以${V}_{F-OBED}=\frac{1}{3}FQ•{S}_{OBED}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．