Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点为点A，直线l：y=x+a与其两条渐近线分别交于点B、C，且$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，O为坐标原点，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求得A（-a，0），双曲线的渐近线方程，由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得y_C＞y_B，联立直线y=x+a和渐近线方程，解得B，C的坐标，运用向量的坐标运算，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得y_C＞y_B，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$解得C（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$解得B（-$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
由$\overrightarrow{OC}$+2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$，可得
$\frac{ab}{b-a}$=3•$\frac{ab}{a+b}$，
即有3（b-a）=b+a，即b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用联立渐近线方程求交点，考查向量的加法的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．