Question

已知等差数列{a_n}，首项a₁和公差d均为整数，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）若a₁=1，且a₂，a₄，a₉成等比数列，求公差d；
（Ⅱ）若n≠5时，恒有S_n＜S₅，求a₁的最小值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等比数列的性质，求公差d；
（Ⅱ）n≠5时，恒有S_n＜S₅，可得S₅最大且有d＜0，结合a₁，d∈Z求a₁的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得a42=a2•a9
将a₁=1代入得（1+3d）²=（1+d）•（1+8d）…（4分）
解得d=0或 d=3…（6分）
（Ⅱ）∵n≠5时，恒有S_n＜S₅，∴S₅最大且有d＜0，
又由 

s5＞s6 s5＞s4

⇒

a6＜0 a5＞0

，
∴

a1+5d＜0 a1+4d＞0

⇒-4d＜a1＜-5d…（10分）
又∵a₁，d∈Z，d＜0故
当d=-1时 4＜a₁＜5此时a₁不存在，…（12分）
当d=-2时 8＜a₁＜10则a₁=9，
当d=-3时 12＜a₁＜15，…
易知d≤-3时a₁＞9…（14分）
综上：a₁=9．…（15分）

点评：本题考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．