Question

4．设函数f（x）=x²+x+aln（x+1），其中a≠0
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，令g（x）=x³+x-f（x），求证：ln（$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{n-1}{{n}^{3}}$（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（2）问题转化为方程2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，根据二次函数的性质判断即可；
（3）求出g（x）的导数，根据函数的单调性得到x²-x³＜ln（x+1）在（0，+∞）恒成立，通过换元证明即可．

解答 解（1）f（x）的定义域为（-1，+∞）
当a=-6时，由f′（x）=$\frac{2x2+3x-5}{x+1}$=0得x=1或x=-$\frac{5}{2}$（舍）
当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，3）时f′（x）＞0，f（x）单调递增
所以f（x）_min=f（1）=2-6ln2  
又因为f（0）=0，f（3）=12（1-ln2）＞0，
所以f（x）_max=12（1-ln2）
综上：f（x）_min=2-6ln2，f（x）_max=12（1-ln2）；
（2）f′（x）=$\frac{2x2+3x+1+a}{x+1}$，
即2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
令h（x）=2x²+3x+1+a，
则$\left\{\begin{array}{l}△=9-8（a+1）＞0\\ h（-1）＞0\end{array}$，解得0＜a＜$\frac{1}{8}$；
（3）∵g（x）=x³+x-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
∴g′（x）=$\frac{3x3+（x-1）2}{x+1}$，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，
 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时g（x）＞g（0）=0，
即x³-x²+ln（x+1）＞0，
x²-x³＜ln（x+1）在（0，+∞）恒成立，
令x=$\frac{1}{n}$∈（0，+∞）（ n∈N?），
则ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{1}{n2}$-$\frac{1}{n3}$，
即ln（$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{n-1}{n3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题．