Question

15．已知函数f（x）=2sin（$\frac{x+φ}{2}$）cos（$\frac{x+φ}{2}$）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且对任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{6}$），则（　　）

• A． f（x）=f（x+π）
• B． f（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）
• C． f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）
• D． f（x）=f（$\frac{π}{6}$-x）

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简函数f（x），根据f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）得出f（$\frac{π}{6}$）是函数的最大值，
求出φ的值，得出f（x）解析式，从而判断出正确的选项．

解答 解：函数f（x）=2sin（$\frac{x+φ}{2}$）cos（$\frac{x+φ}{2}$）=sin（x+φ），
若对任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{6}$），
则f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值，
即$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的周期为T=2π，A、B错误；
又f（x）的对称轴是x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，C正确，D错误．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了二倍角公式的应用问题，属于基础题．