Question

已知数列{a_n}，其前n项和为Sn=

3

2

n2+

7

2

n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（II）设c_n=

9

2(an-7)(2an-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式Tn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析：（I）由Sn=

3

2

n2+

7

2

n（n∈N^*）．能导出a_n=3n+2，n∈N^*．由a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，能证明数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（II）由a_n=3n+2，知c_n=

9

2(an-7)(2an-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由裂项求和法能求出T_n=

n

2n+1

．由此能求出使不等式Tn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

解答：解：（I）∵Sn=

3

2

n2+

7

2

n（n∈N^*）．
∴当n=1时，a₁=S₁=5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

[n2-(n-1)2]+

7

2

[n-(n-1)]
=

3

2

(2n-1)+

7

2

=3n+2．
∵a₁=5满足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2，n∈N^*．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N^*，
∴数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（II）∵a_n=3n+2，
∴c_n=

9

2(an-7)(2an-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∵Tn+1-Tn=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，n∈N^*，
∴T_n单调递增．
∴(Tn)min=T1=

1

3

．…（11分）
∴

1

3

＞

k

57

，解得k＜19，因为k是正整数，
∴k_max=18． …（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法和等差数列的证明，求使不等式Tn＞

k

57

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．考查数列与不等式的综合应用．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．