Question

已知函数f（x）=x3﹣3x．

（1）求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值；

（2）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

 

Answer 1

（1）f（x）min=﹣18，f（x）max=2．

（2）y=3x或y=24x﹣54．

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的导数，然后判断在要求区间内导数的正负情况，从而可得出最大值与最小值．

（2）根据导函数的定义可求出切线的斜率，然后根据点P的坐标可求出切线的方程．

【解析】
（1）f′（x）=3（x+1）（x﹣1），

当x∈[﹣3，﹣1）或x∈（1，]时，f′（x）＞0，

∴[﹣3，﹣1]，[1，]为函数f（x）的单调增区间，

当x∈（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间，

又∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，

所以当x=﹣3时，f（x）min=﹣18，

当x=﹣1时，f（x）max=2．

（2）由于点P不在曲线上，故设切点为（x0，y0）则切线方程为：y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）①，

又点P（2，﹣6）在此切线上，以及y0=x03﹣3x0代入①，解得：x0=0或3，

故此直线的斜率为3或24，

故可求得切线的方程为y=3x或y=24x﹣54．