Question

20．设集合A、B分别是函数y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2x-8}}$与函数y=lg（6+x-x²）的定义域，C={x|x²-4ax+3a²＜0}，若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出集合A和集合N，从而求出A∩B={x|2＜x＜3}，由此利用C={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}，A∩B⊆C，能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵集合A、B分别是函数y=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2x-8}}$与函数y=lg（6+x-x²）的定义域，
∴A={x|x²+2x-8＞0}={x|x＞2或x＜-4}，B={x|6+x-x²＞0}={x|-2＜x＜3}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}，
∵C={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}，
A∩B⊆C，
∴当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，
此时$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2；
当a=0时，C=∅，不成立；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，
此时$\left\{\begin{array}{l}{3a≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，无解．
综上，实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的定义域、交集、子集性质的合理运用．