Question

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的周长为5+$\sqrt{7}$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合C的范围可得sinC≠0，可求cosC=$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可求ab，利用余弦定理可得（a+b）²-18=c²，结合a+b+c=5+$\sqrt{7}$，即可解得c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
∴2cosCsin（A+B）=sinC，可得：2cosCsinC=sinC，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由题意可得：S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：ab=6，
又∵a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=c²，可得：（a+b）²-3ab=c²，可得：（a+b）²-18=c²，
又a+b+c=5+$\sqrt{7}$，
∴（5+$\sqrt{7}$-c）²-18=c²，
∴解得：c=$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．