Question

20．已知矩形ABCD，|AB|=2，$|BC|=2\sqrt{3}$，E为AD上一点（图1），将△ABE沿BE折起，使点A在面BCDE内的投影G在BE上（图2），F为AC的中点；

（1）当E为AD中点时，求证：DF∥平面ABE；
（2）当$|AE|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，求三棱锥D-EFC的体积．

Answer 1

分析 （1）延长CD，BE交于点M，连AM，推导出DF∥AM，由此能证明DF∥面ABE．
（2）∵AG先求出∠ABE=30°，AG=1，由此利用V_D-EFC=V_F-CDE，能求出三棱锥D-EFC的体积．

解答 证明：（1）延长CD，BE交于点M，连AM，
∵E为AD中点，DE∥BC，∴D为CM的中点，
又F为AC中点，∴DF∥AM，
∵AM?面ABE，DF?平面ABE，
∴DF∥面ABE．…（6分）
解：（2）∵AG⊥面BCDE，AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABE=30°，AG=1，
∴${S}_{△CDE}=\frac{1}{2}×2×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．…（9分）
∴${V_{D-EFC}}={V_{F-CDE}}=\frac{1}{2}{V_{A-CDE}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}}}{3}×1=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．