Question

15．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若a_n（2+sin$\frac{nπ}{2}$）=n（2+cosnπ），且S_4n=an²+bn，则a-b=5．

Answer 1

分析 通过计算得出数列{a_n}前8项的值，进而联立S₄=a+b、S₈-S₄=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．

解答 解：①当n=4k-3时，a_n（2+1）=n（2-1），a_n=$\frac{n}{3}$；
②当n=4k-2时，a_n（2+0）=n（2+1），a_n=$\frac{3}{2}$n；
③当n=4k-1时，a_n（2-1）=n（2-1），a_n=n；
④当n=4k时，a_n（2+0）=n（2+1），a_n=$\frac{3}{2}$n；
∵S_4n=an²+bn，
∴S₄=a+b
=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$•2+3+$\frac{3}{2}$•4
=$\frac{1}{3}$+12，
S₈-S₄=（4a+2b）-（a+b）
=3a+b
=$\frac{1}{3}$•5+$\frac{3}{2}$•6+7+$\frac{3}{2}$•8
=$\frac{5}{3}$+28，
∴（3a+b）-（a+b）=（$\frac{5}{3}$+28）-（$\frac{1}{3}$+12），解得：a=$\frac{2}{3}$+8，
b=$\frac{1}{3}$+12-a=（$\frac{1}{3}$+12）-（$\frac{2}{3}$+8）=-$\frac{1}{3}$+4，
∴a-b=（$\frac{2}{3}$+8）-（-$\frac{1}{3}$+4）=5，
故答案为：5．

点评 本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，涉及解方程组，注意解题方法的积累，属于中档题．