Question

2．在棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N，D分别是棱B₁C₁，C₁C，BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁M∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：BN⊥平面A₁MC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁M∥AD，由此能证明A₁M∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明BN⊥平面A₁MC．

解答 证明：（Ⅰ）∵棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
M，D分别是棱B₁C₁，BC的中点，
∴A₁M∥AD，
∵A₁M?平面AB₁D，AD?平面AB₁D，
∴A₁M∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵在棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N，D分别是棱B₁C₁，C₁C，BC的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DM为z轴，建立空间直角系，
设棱长为2，则B（0，-1，0），N（0，1，1），A₁（$\sqrt{3}$，0，2），M（0，0，2），
C（0，1，0），
$\overrightarrow{BN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-2），
$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{M{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{MC}$=0，
∴BN⊥MA₁，BN⊥MC，
∵MA₁∩MC=M，∴BN⊥平面A₁MC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．