Question

6．已知数列[a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，且前n项和为S_n满足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并归纳出a_n的通项公式（不用证明）；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，且前n项和为S_n满足S_n=n²a_n（n∈N^*）．令n=2，可得：$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{6}$，同理可得：a₃，a₄．可得：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）利用a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可得数列{a_n}的前n项和为S_n．即可证明．

解答 1）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，且前n项和为S_n满足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
令n=2，可得：$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{6}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．
可得：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）证明：∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
即S_n＜1．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．