Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E是PC的中点
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）若PD=DC=2，求三棱锥P-EDB的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明OE∥PA即可证明PA∥平面BDE，
（2）根据三棱锥的体积公式，利用转化法，进行求解即可．

解答 证明：（1）连接AC，设AC，BD的交点为O，连OE，
由O，E分别为AC，CP中点，
∴OE∥PA
又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∵E是PC的中点，且PD=DC=2，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$S_△PDC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}=1$，
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面平面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
∵BC∥AD．
∴BC⊥平面PDC，
则V_P-EDB=V_B-PDE=$\frac{1}{3}$S_△PDE|BC|=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及三棱锥体积的计算，根据转化法转化为比较好计算的三棱锥的体积是解决本题的关键．