Question

12．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若6n-m（S_n+1）≤18对n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1，n=1时，$\frac{1}{2}{a}_{2}$=1+1，解得a₂．n≥2时，利用递推关系可得：a_n+1=3a_n，数列{a_n}从第二项起是等比数列，可得a_n．
（2）n≥2时，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-1=2×3^n-1-1．由于6n-m（S_n+1）≤18对n∈N^*恒成立，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$a_n+1=S_n+1，
∴n=1时，$\frac{1}{2}{a}_{2}$=1+1，解得a₂=4．
n≥2时，$\frac{1}{2}{a}_{n}$=S_n-1+1，
∴$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}{a}_{n}$=S_n-S_n-1=a_n，化为：a_n+1=3a_n，
而a₂=4a₁，
∴数列{a_n}从第二项起是等比数列．
n≥2时，a_n=a₂•3^n-2=4×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）n≥2时，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-1=2×3^n-1-1．
∵6n-m（S_n+1）≤18对n∈N^*恒成立，
∴n=1时，6-2m≤18，解得m≥-6．
n≥2，6n-m（2×3^n-1-1+1）≤18，化为：m≥$\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}$，
而$\frac{3（n+1）-9}{{3}^{n}}$-$\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-n}{{3}^{n-1}}$＜0，
∴数列$\{\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}\}$单调递减，∴m≥-1．
综上可得：m≥-1．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．