Question

已知动点到点的距离等于点到直线的距离，点的轨迹为.

(Ⅰ)求轨迹的方程；

(Ⅱ)设为直线上的点，过点作曲线的两条切线,，

（ⅰ）当点时，求直线的方程；

（ⅱ）当点在直线上移动时，求的最小值.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ），

【解析】

试题分析：(Ⅰ)依题意，由抛物线定义知轨迹的方程为，或设，依题意:

即化简得；（Ⅱ）（ⅰ）易得切线的方程为，切线的方程为，因切线,均过点，所以，，所以直线的方程为，当点时,直线的方程为；（ⅱ）由抛物线定义得，联立方程得，，

又点在直线上，所以 ，所以

，当时，取得最小值

试题解析：法一：(Ⅰ)依题意，由抛物线定义知轨迹的方程为 4分

(Ⅱ)抛物线的方程为，即，求导得 ..5分

设,，其中，，

则切线,的斜率分别为,，

所以切线的方程为，即，即，

同理可得切线的方程为 ..6分

因为切线,均过点，所以，，

所以为方程的两组解

所以直线的方程为 .8分

①当点时,直线的方程为； 9分

②由抛物线定义知，

所以

联立方程 消去整理得,

故， 10分

所以

又因为点在直线上，所以

所以

所以，当时，取得最小值，且最小值为 .12分

法二： (Ⅰ)设，依题意:

即

化简得

则轨迹的方程为 ..4分

(Ⅱ) ① 依题意过点作曲线的切线，可知切线的斜率存在，设为，

则切线的方程为，即， ..5分

联立消得： ①

由解得或

将代入①式可得，即

将代入①式可得，即

直线的方程为； ..8分

②同法一 ..12分

考点：圆锥曲线及其在最值中的应用