Question

12．已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF 上一点，且AM=FN．
（1）求证：MN∥平面CBE；
（2）求证：MN⊥AB．

Answer 1

分析 （1）先由 $\frac{MG}{AB}$=$\frac{MC}{NC}$=$\frac{NB}{EF}$得到MG∥NH且MG=NG，得出MNHG为平行四边形，从而求证MN∥GH，由线面平行的判定定理证得MN∥面BEC；
（2）由AB⊥BC，AB⊥BE，结合线面垂直的判定定理证出AB⊥面BEC，从而有AB⊥GH，再由垂直于平行线中的一条，则垂直于另一条，得到MN⊥AB．

解答 证明：（1）如图示：
÷
在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
连接GH，∵AM=FN∴MC=NB，
∵$\frac{MG}{AB}$=$\frac{MC}{NC}$=$\frac{NB}{EF}$，∴MG∥NH且MG=NG，
∴MNHG为平行四边形，∴MN∥GH，
又∵GH⊆面BEC，MN_≠^?面BEC，
∴MN∥面BEC；
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE，
∴AB⊥面BEC，
∵GH⊆面GEC，
∴AB⊥GH，
∵MN∥GH，
∴MN⊥AB．

点评 本题主要通过平面图形中的相似性转化线线平行，进而转化为线面平行来考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定和培养学生平面和空间的转化及建模能力．