Question

已知函数，为常数.

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）当时，试比较与的大小；

（3）若函数有两个零点、，试证明.

 

Answer 1

（1）;（2）①当时，，即；②当时，；③当时，即;（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意切线平行于x轴即斜率为0，则对函数求导可得，即，可求出a;（2）根据题意当时，函数就确定下来了，对其求导可得，可研究出函数的单调性情况，为了比较大小可引入一个新的函数，即令，则利用导数对其进行研究可得，而，则可由m与1的大小关系进行分类得出结论;（3）显然两零点均为正数，故不妨设，由零点的定义可得：，即，观察此两式的结构特征可相加也可相减化简得：，现在我们要证明，即证明，也就是．又因为，所以即证明，即．由它的结构可令＝t，则，于是．构造一新函数，将问题转化为求此函数的最小值大于零，即可得证．

（1），由题，． 4分

（2）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减．

由题，令，

则． 7分

又，

①当时，，即；

②当时，；

③当时，即． 10分

（3），， ，，

， 12分

欲证明，即证，

因为，

所以即证，所以原命题等价于证明，即证：，

令，则，设，，

所以在单调递增，又因为，所以，

所以，所以 16分

考点：1.曲线的切线;2.函数与导数的运用;3.不等式的证明