流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感.据资料统计.11月1日.该市新的流感病毒感染者有20人.此后.每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施.使该种病毒的传播得到控制.从某天起.每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止.该市在这30天内� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：设11月1日，该市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．则从11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列．其首项为20，公差为50．前n日患者总人数 S_n=25n²-5n．从第n+1日开始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．其首项为20+（n-1）×50-30=50n-60，公差为-30．项数为（30-n），其患者总人数为T_30-n=-65n²+2445n-14850．利用S_n+T_30-n=8675，即可得出．

解答： 解：设11月1日，该市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．
则从11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人数构成一个等差数列．其首项为20，公差为50．
前n日患者总人数 S_n=20n+

n(n-1)

×50=25n²-5n．
从第n+1日开始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人数依次构成另一个等差数列．
其首项为20+（n-1）×50-30=50n-60，公差为-30．项数为（30-n），
其患者总人数为T_30-n=（30-n）（50n-60）+

(30-n)(29-n)

×(-30)
=-65n²+2445n-14850．
由题意可得S_n+T_30-n=8670，即（25n²-5n）+（-65n²+2445n-14850）=8670．
化为n²-61n+588=0，解得n=12（1≤n≤30）．
∴n=12，第12日的新患者人数为20+（12-1）×50=570．
∴11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天患者人数为570．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．