Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=2时，判断并证明f（x）的单调性；
（2）当a=2时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，判断函数的单调性即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出函数的值域即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+2，
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，（x≥1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{2}$）递减，在[$\sqrt{2}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，+∞）的值域是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义，是一道基础题．