题目内容
2．
如图，F1、F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为$\sqrt{7}$．
分析 根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=$\sqrt{7}$a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．
解答 解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，
∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，
又∵|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°，
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a2，解之得c=$\sqrt{7}$a，
由此可得双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
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（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．