Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一点且BE=$\frac{2}{3}$BC，PB⊥AE．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAE；
（Ⅱ）求点C到平面PDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AE⊥平面PAB，可得AE⊥AB．利用PA⊥AB，即可证明AB⊥平面PAE；
（Ⅱ）由V_P-ECD=V_C-PDE得点C到平面PDE的距离．

解答 （Ⅰ）证明：由已知可得：AD∥EC，且AD=EC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥CD，且AE=CD=2．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，
∴AE⊥平面PAB，又AB?平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥AB，PA∩AE=A，
∴AB⊥平面PAE，…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知△ABE是直角三角形且∠AEB=60°，
从而有△CDE是边长为2的等边三角形．
设C到平面PDE的距离为h，
由V_P-ECD=V_C-PDE得$\frac{1}{3}$S_△ECD•PA=$\frac{1}{3}$S_△PDE•h，
解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
即C到平面PDE的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判断与性质，考查点到平面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．