Question

4．抛物线y²=2px（p＞0）有一内接正三角形，且三角形的一个顶点在原点，则这个正三角形的边长为4$\sqrt{3}$p，正三角形的面积为12$\sqrt{3}$p²，中心坐标为（$\frac{2}{3}$a，0）．

Answer 1

分析 设另外两个顶点的坐标分别为（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）、（ a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），代入抛物线方程可得$\frac{{a}^{2}}{3}$=2pa，解得a=6p，可得正三角形的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=4$\sqrt{3}$p，由此求得这个正三角形的面积，中心坐标．

解答 解：由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）、（ a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
把顶点（ a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a） 代入抛物线方程可得$\frac{{a}^{2}}{3}$=2pa，解得a=6p，
故正三角形的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=4$\sqrt{3}$p，
故这个正三角形的面积是$\frac{1}{2}•4\sqrt{3}p•4\sqrt{3}p•$•sin60°=12$\sqrt{3}$p²，
中心坐标为（$\frac{2}{3}$a，0）．
故答案为：4$\sqrt{3}$p；12$\sqrt{3}$p²；（$\frac{2}{3}$a，0）．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．