Question

6．已知定义在R上的函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）去掉绝对值，直接进行带值计算即可．
（2）求出f（2t），f（t）带入，构造指数函数，利用指数函数的图象及性质对t∈[1，2]恒成立求解．

解答 解：由题意：f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$定义在R上的函数，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，（x＞0）}\\{0，（x≤0）}\end{array}\right.$
（1）当x≤0时，f（x）=0，无解
当x＞0时，f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
由f（x）=$\frac{3}{2}$，即：2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{3}{2}$，
化简：2•2^2x-3•2^x-2=0
因式分解：（2^x-2）（2•2^x+2）=0
解得：解得2^x=2或2^x=-$\frac{1}{2}$，
∵2^x＞0，
故：x=1．
（2）当t∈[1，2]时，
f（2t）=${2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}$，f（t）=${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$
那么：${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）+m$（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0
整理得：m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）
∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）恒成立即可．
∵t∈[1，2]，∴-（2^2t+1）∈[-17，-5]．
要使m≥-（2^2t+1）恒成立，只需m≥-5
故：m的取值范围是[-5，+∞）．

点评 本题考查了指数函数的性质及运用能力和化简能力，取值范围问题转化为恒成立问题．属于中档题．