Question

5．直线l：mx+y-m-2=0与圆C：（x-3）²+（y-4）²=25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是x+y-3=0．

Answer 1

分析 已知直线l过点M（1，2），点M在圆内，$sin\frac{1}{2}∠ACB=\frac{{\frac{1}{2}|AB|}}{r}=\frac{|AB|}{2r}$，因此要使∠ACB最小，则|AB|取最小值．

解答 解：由已知直线l过点M（1，2），点M在圆内，
∵$sin\frac{1}{2}∠ACB=\frac{{\frac{1}{2}|AB|}}{r}=\frac{|AB|}{2r}$，因此要使∠ACB最小，则|AB|取最小值，
又AB过点M，因此M为AB中点，即CM⊥AB，
因为${k_{CM}}=\frac{4-2}{3-1}=1$，所以k_l=-1，
所以l的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．

点评 本题主要考查了直线与圆的基础知识点，以及斜率与直线关系，属中档题．