Question

过双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点F₂，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，F₁为左焦点，求：
（1）|AB|；      
（2）△AF₁B的周长．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长；
（2）利用双曲线的定义，即可求△AF₁B的周长．

解答： 解：（1）由双曲线的方程得F₁（-3，0），F₂（3，0），直线AB的方程为y=

3

3

（x-3）①（2分）
将其代入双曲线方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x₁=-3，x₂=1.8．（4分）
将x₁，x₂代入①，得y₁=-2

3

，y₂=-

2 3

5

，故A（-3，-2

3

），B（1.8，-

2 3

5

），
故|AB|=

16

5

3

．（8分）
（2）周长=|AB|+|AF₁|+|BF₁|=8

3

．（12分）

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．