Question

18．若复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$为纯虚数，则|z₁|=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，则$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据已知条件列出方程组，求解可得a的值，代入z₁，再由复数求模公式计算得答案．

解答 解：由复数z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，
则$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$=$\frac{（a+2i）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}=\frac{（3a-8）+（4a+6）i}{25}$=$\frac{3a-8}{25}+\frac{4a+6}{25}i$，
∵$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a-8}{25}=0}\\{\frac{4a+6}{25}≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{8}{3}$．
则z₁=a+2i=$\frac{8}{3}+2i$，
∴|z₁|=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{2}^{2}}=\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．