题目内容

甲、乙、丙三人独立完成某项任务的概率分别为 $数学公式$ ．且他们是否完成任务互不影响．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，设甲、乙、丙三人中能完成任务人数为X，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任务的概率为 $数学公式$ ，求p的值．

解：设“甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，
所以P（A）= $\text{[math]}$ ，P（B）=p，P（C）= $\text{[math]}$ ，且A、B、C相互独立．
（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3．
因为 $\text{[math]}$ ，所以P（B）= $\text{[math]}$ ．
所以P（X=0）=P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）=（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
P（X=1）=P（A• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ •B• $\text{[math]}$ ）+P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C）= $\text{[math]}$ ，
P（X=2）=P（A•B• $\text{[math]}$ ）+P（A• $\text{[math]}$ •C）+P（ $\text{[math]}$ •B•C）= $\text{[math]}$ ，
P（X=3）=P（A•B•C）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以X分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所以， $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，
所以P（E）=P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C）=（1- $\text{[math]}$ ）×（1-p）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
解可得 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据题意，设甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，分析可得，X的所有可能取值为0，1，2，3；由相互独立事件概率的乘法公式可得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3），即可得X的分步列，由期望的计算公式可得E（X）．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，易得P（E）=P（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C），结合题意代入数据可得 $\text{[math]}$ ，解可得P的值．
点评：本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算期望时，需要注意提高计算的准确性．