Question

4．在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每年最多生产80台某种型号的大型计算机系统，生产x台（x∈N^*）的收入函数为R（x）=300x-2x²（单位：万元），其成本函数为C（x）=80x+600（单位：万元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）①该公司生产多少台时获得的利润最大？
②利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过P（x）=R（x）-C（x）求解函数的解析式，以及边际利润函数MP（x）的解析式；
（2）①通过P（x）=-2（x-55）²+5450，利用二次函数的性质求解即可；
②利用MP（x）是减函数，求解即可．

解答 解：由题意知，x∈[1，80]，且x∈N^*
（1）P（x）=R（x）-C（x）=300x-2x²-（80x+600）=-2x²+220x-600，
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-2（x+1）²+220（x+1）-600-[-2x²+220x-600]=-4x+218
（2）①P（x）=-2（x-55）²+5450，当x=55时，P（x）的最大值为5450（万元）．
该公司产生55台时利润最大．
②又MP（x）=-4x+218是减函数，所以当x=1时，MP（x）的最大值为214（万元）．
因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值．

点评 本题考查实际问题的处理方法，二次函数的简单性质的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．