Question

13．当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]时，y=3-2sinx-2cos²x的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数知识化简可得y=2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，令sinx=t，则t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，研究二次函数y=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
的单调性和最值即可．

解答 解：化简可得y=3-2sinx-2cos²x
=3-2sinx-2（1-sin²x）
=2sin²x-2sinx+1
=2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
令sinx=t，则t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
由二次函数可知y=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
在t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]单调递减，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]单调递增，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，取到最小值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查复合三角函数的单调性和最值，换元是解决问题的关键，属中档题．