题目内容

已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G， $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中λ，μ＞0， $数学公式$ ，S_△ABC=1，则S_△GMN的取值范围是

A.
（0， $数学公式$ ）
B.
（ $数学公式$ ）
C.
（ $数学公式$ ）
D.
（0， $数学公式$ ）

D
分析：根据D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G可得G为重心利用重心的性质可求出 $\text{[math]}$ 再根据S_△ABC=1可求出 $\text{[math]}$ 再结合条件 $\text{[math]}$ 可得出 $\text{[math]}$ 从而可求出 $\text{[math]}$ 下面只需求出t的范围即可而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且λ，μ＞0可知M不可能与E重合所以0＜t＜ $\text{[math]}$ 即可求出S_△GMN的取值范围．
解答：

解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
∴G为三角形ABC的重心
过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
则Rt△GDE∽Rt△ADF
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵S_△ABC=1
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴MN∥BD且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中λ，μ＞0
∴M不可能与E重合
∵ $\text{[math]}$
∴MN∥BD
∵ $\text{[math]}$
∴0＜t＜ $\text{[math]}$ ，
∴0＜t²＜ $\text{[math]}$
∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴0＜S_△GMN＜ $\text{[math]}$
故选D
点评：本题主要考查了向量的数乘以及向量的几何意义．解题的关键是根据重心的性质结合S_△ABC=1和 $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ ，但根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且λ，μ＞0可知M不可能与E重合求出0＜t＜ $\text{[math]}$ 则是最为重要的！