Question

13．已知f（x）=sinx+cosx+sin2x，若?t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• C． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，+∞}）$
• D． $[\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），利用二次函数的单调性可得：g（m）_max=1+$\sqrt{2}$，
再分离参数，根据三角函数的性质即可求出．

解答 解：令m=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
则m²=1+2sinxcosx，
∴sin2x=m²-1．
∴f（x）=sinx+cosx+sin2x=m²+m-1=g（m），
∴g（m）=（m+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，函数g（m）在[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）内单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）内单调递增．
g（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$．
∴g（m）_max=1+$\sqrt{2}$．
∵?t∈R，x∈R，asint+3a+1≥f（x）恒成立，
∴asint+3a+1≥1+$\sqrt{2}$，
化为a≥$\frac{\sqrt{2}}{3+sint}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{3+sint}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数求值、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式、倍角公式、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．