Question

14．在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1，圆心在直线2x-y-4=0上，若圆M上不存在点N，使NO=$\frac{1}{2}$NA，其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围（-∞，0）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 设N（x，y），由NO=$\frac{1}{2}$NA，化简可得x²+（y+1）²=4．再设圆心M横坐标为a，由条件求得圆M的方程．问题转化为两圆没有共公点，由此求得a的范围．

解答 解：设N（x，y），由NO=$\frac{1}{2}NA$，得4（x²+y²）=x²+（y-3）²，
化简可得x²+（y+1）²=4．
再设圆心M横坐标为a，则圆心M纵坐标为2a-4．
圆M的方程为 （x-a）²+（y-2a+4）²=1，
于是，问题转化为两圆没有共公点，
∴$\sqrt{{a}^{2}+（-1-2a+4）^{2}}$＞3，或$\sqrt{{a}^{2}+（-1-2a+4）^{2}}$＜1
从而解得a＜0，或a＞$\frac{12}{5}$．
故答案为：（-∞，0）∪（$\frac{12}{5}$，+∞）．

点评 本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的应用，属于基础题．