Question

设p，q为实数，α，β是方程x²－px＋q＝0的两个实根，数列{x_n}满足x₁＝p，x₂＝p²－q，x_n＝px_n－1－qx_n－2(n＝3，4，…)．(1)证明：α＋β＝p，αβ＝q；(2)求数列{x_n}的通项公式；(3)若p＝1，，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由求根公式，不妨设，得 　　， 　　(2)设，则，由得， 　　消去，得，是方程的根，由题意可知， 　　①当时，此时方程组的解记为 　　 　　即、分别是公比为、的等比数列， 　　由等比数列性质可得，， 　　两式相减，得 　　，， 　　， 　　，即， 　　②当时，即方程有重根，， 　　即，得，不妨设，由①可知 　　，， 　　即，等式两边同时除以，得，即 　　数列是以1为公差的等差数列，， 　　综上所述， 　　(3)把，代入，得，解得