Question

18．已知函数f（x）=|2x-1|+|x-a|，g（x）=x-1．
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）如果?x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，不等式f（x）＞g（x）化为|2x-1|+|x+1|-x+1＞0，去掉绝对值，作出函数的图象，即可求不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）如果?x∈R，f（x）≥1恒成立，只需f（x）的最小值大于等于1即可．

解答 解：（1）当a=-1时，不等式f（x）＞g（x）化为|2x-1|+|x+1|-x+1＞0，
设函数$y=\left\{\begin{array}{l}-4x+1，x＜-1\\-2x+3，-1≤x≤\frac{1}{2}\\ 2x+1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$
其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x∈R时，y＞0，
所以原不等式的解集为{x|x∈R}
（2）?x∈R，f（x）≥1恒成立，只需f（x）的最小值大于等于1即可，
当$a≥\frac{1}{2}$时，$f（x）=|{2x-1}|+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-3x+a+1，x＜\frac{1}{2}\\ x+a-1，\frac{1}{2}≤x≤a\\ 3x-a-1，x＞a\end{array}\right.$，∴$f{（x）_{min}}=a-\frac{1}{2}$
同理，当$a＜\frac{1}{2}$时，$f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}-a$
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{2}\\ a-\frac{1}{2}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-a≥1\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{3}{2}$或$a≤\frac{1}{2}$
∴a的取值范围是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{3}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．