Question

18．已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，C=$\frac{π}{4}$，且2sin²A-1=sin²B．
（1）求tanB的值；
（2）若b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin2B=sin²B，结合sinB≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanB的值．
（2）由tanB=2，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA的值，由正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由2sin²A-1=sin²B，知-cos2A=sin²B，
又∵$A=π-（B+C）=\frac{3π}{4}-B$，
∴$-cos2（\frac{3π}{4}-B）={sin^2}B$，
即∴sin2B=sin²B，…（4分）
又sinB≠0，
∴2cosB=sinB，故tanB=2．…（5分）
（2）由tanB=2知，B为锐角，且$cosB=\frac{1}{{\sqrt{1+{{tan}^2}B}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
则$sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（8分）
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴$a=\frac{b}{sinB}•sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{2}•\frac{{3\sqrt{10}}}{10}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，…（10分）
∴△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{8}$． …（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．