Question

3．已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x²+1；（3）f（x）=3e^x；（4）$f（x）=\frac{3}{x}$．其中满足对于任意x₁∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x₂∈D，使$\sqrt{f（{x_1}）f（{x_2}）}=3$的函数的序号为（3）、（4）．

Answer 1

分析 先分析题目中对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\sqrt{f（{x_1}）f（{x_2}）}=3$成立，
再对题目中的函数进行分析、判断，得出符合条件的函数即可．

解答 解：根据题意可知：
对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；
对于（2），函数f（x）=3x²+1，当x₁=0时，存在x₂=±$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$使得使$\sqrt{f（{x_1}）f（{x_2}）}=3$，故不符合题意；
对于（3），函数f（x）=3e^x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使$\sqrt{f（{x_1}）f（{x_2}）}=3$成立；
对于（4），函数f（x）=$\frac{1}{x}$，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使$\sqrt{f（{x_1}）f（{x_2}）}=3$成立；
所以成立的函数序号为（3）、（4）．
故答案为：（3）、（4）．

点评 本题主要应用新定义的方式考查均值不等式在函数中的应用问题，对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，是易错题目．