Question

8．已知△ABC中，AC=$\sqrt{2}$BC；
（1）若CD是角C的平分线，且CD=kBC，求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若S_△ABC=1，当k为何值时，AB最短？
（3）如果AB=2，求三角形ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}x•xsin2α$=$\frac{1}{2}kxsinα（x+\sqrt{2}x）$，求出k，即可求k的取值范围；
（2）利用三角形的面积，结合余弦定理得出结论；
（3）求出S_△ABC=$x\sqrt{1-{{（{\frac{{4-{x^2}}}{4x}}）}^2}}=\sqrt{\frac{{128-{{（{{x^2}-12}）}^2}}}{16}}$，由三角形三边关系有$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+x＞2}\\{x+2＞\sqrt{2}x}\end{array}}\right.$解得$2\sqrt{2}-2＜x＜2\sqrt{2}+2$，即可求三角形ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）设BC=x，则AC=$\sqrt{2}x$，∠ACD=∠BCD=α，则S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}x•xsin2α$=$\frac{1}{2}kxsinα（x+\sqrt{2}x）$，
∴$k=\frac{{\sqrt{2}sin2α}}{{（1+\sqrt{2}）sinα}}=\frac{{2\sqrt{2}cosα}}{{1+\sqrt{2}}}，α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$k∈（0，4-2\sqrt{2}）$．（4分）
（2）据余弦定理$A{B^2}={x^2}+2{x^2}-2\sqrt{2}{x^2}cos2α=3{x^2}-2\sqrt{2}{x^2}cos2α$，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{2}{x^2}sin2α$=1，$A{B^2}={x^2}+2{x^2}-2\sqrt{2}{x^2}cos2α=3{x^2}-2\sqrt{2}{x^2}cos2α=\frac{{\sqrt{2}（3-2\sqrt{2}cos2α）}}{sin2α}$
=$\frac{{\sqrt{2}（3-2\sqrt{2}cos2α）}}{2sinαcosα}=\frac{{\sqrt{2}[{（3+2\sqrt{2}）{{sin}^2}α+（3-2\sqrt{2}）{{cos}^2}α}]}}{2sinαcosα}$
=$\frac{{\sqrt{2}[{（3+2\sqrt{2}）{{sin}^2}α+（3-2\sqrt{2}）{{cos}^2}α}]}}{2sinαcosα}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}[{{{（\sqrt{2}+1）}^2}tanα+\frac{{{{（\sqrt{2}-1）}^2}}}{tanα}}]$$≥\sqrt{2}$．
当且仅当$tanα=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{1+\sqrt{2}}}$时取等，
∴$k=\frac{{2\sqrt{2}cosα}}{{1+\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+\sqrt{2}}}•\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{{{（\sqrt{2}-1）}^2}+（\sqrt{2}}+1{）^2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时AB最短$\sqrt{2}$．…（9分）
（3）设BC=x，则AC=$\sqrt{2}x$，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BCsinB=x\sqrt{1-{{cos}^2}B}$，
根据余弦定理得$cosB=\frac{{A{B^2}+B{C^2}-A{C^2}}}{2AB×BC}=\frac{{4+{x^2}-2{x^2}}}{4x}$=$\frac{{4-{x^2}}}{4x}$，
代入上式得S_△ABC=$x\sqrt{1-{{（{\frac{{4-{x^2}}}{4x}}）}^2}}=\sqrt{\frac{{128-{{（{{x^2}-12}）}^2}}}{16}}$，
由三角形三边关系有$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+x＞2}\\{x+2＞\sqrt{2}x}\end{array}}\right.$解得$2\sqrt{2}-2＜x＜2\sqrt{2}+2$，
故当${x^2}=12，x=2\sqrt{3}$时S_△ABC取最大值$\sqrt{\frac{128}{16}}=2\sqrt{2}$．…（14分）

点评 本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．