Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2．M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．
（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）求三棱锥C-DMB的体积；
（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l?平面BCD；②l∥AM．请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由面面垂直的性质可得DO⊥平面ABCM，故而平面DOB⊥平面ABCM；
（II）以BCM为棱锥的底面，则棱锥的高为DO，求出DO代入体积公式计算即可；
（III）假设存在直线l满足条件，则利用线面平行的性质和判断得出l∥AM∥BC，得出矛盾．

解答 证明：（I）∵AD=DM，点O是线段AM的中点，
∴DO⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO?平面ADM，
∴DO⊥平面ABCM，又DO?平面DOM，
∴平面DOB⊥平面ABCM．
（II）∵AD=DM=1，∠ADM=$\frac{π}{2}$，M为CD的中点．
∴AM=$\sqrt{2}$，DO=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵DO⊥平面ABCM，
∴V_C-DMB=V_D-BCM=$\frac{1}{3}$S_△BCM•DO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
（III）过D点不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l?平面BCD；②l∥AM．
理由如下：（反证法）
假设过D点存在一条直线l满足条件，
∵l∥AM，l?平面ABCM，AM?平面ABCM，
∴l∥平面ABCM；
又∵l?平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，
∴l∥BC，
∴AM∥BC，与AM，BC是相交直线矛盾，
故不存在这样的直线l．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，线面平行的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．