Question

11．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．
（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．

Answer 1

分析 （1）由切割线定理可得BC²=BM•BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；
（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN．

解答 （1）解：由切割线定理可得BC²=BM•BA．
设AM=t，则
∵AB=8，BC=4，∴16=8（8-t），
∴t=6，即线段AM的长度为6；
（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B，
∴△BMN∽△BCA，
∴$\frac{BN}{BA}$=$\frac{MN}{CA}$，
∵AB=2AC，
∴BN=2MN．

点评 本题考查切割线定理．考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．