Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆上不同于A，B的任一点，直线AP、BP分别与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于M，N两点，F为右焦点，则∠MFN等于90°．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出A，B的坐标，设出P的坐标，写出AP，BP所在直线方程，求出M，N的坐标，由$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=0$可得∠MFN=90°．

解答 解：如图A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），
则${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，直线PA：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}（x+a）$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{a{y}_{0}（a+c）}{c（{x}_{0}+a）}$），
${k}_{PB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，直线PB：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}（x-a）$，
∴N（$\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{a{y}_{0}（a-c）}{c（{x}_{0}-a）}$）．
则$\overrightarrow{FM}=（\frac{a{y}_{0}（a+c）}{c（{x}_{0}+a）}，\frac{{b}^{2}}{c}）$，$\overrightarrow{FN}=（\frac{a{y}_{0}（a-c）}{c（{x}_{0}-a）}，\frac{{b}^{2}}{c}）$，
∵$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）}+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}（-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）+\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}=0$．
∴$\overrightarrow{FM}⊥\overrightarrow{FN}$，即∠MFN=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查了学生综合处理问题解决问题的能力，考查了学生的运算能力，是中档题．