Question

8．已知二次函数y=f（x）满足f（-2）=f（4）=-16，且函数f（x）最大值为2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（-2）=f（4），可得函数图象的对称轴为直线x=1，结合函数f（x）最大值为2，设出函数的顶点式，进而可得答案；
（2）分析给定区间[t，t+1]与对称轴的位置，进而得到函数的在[t，t+1]上的单调性和最大值．

解答 解：（1）因为f（-2）=f（4），
所以函数图象的对称轴为直线x=1，
又因为f（x）_max=2，
所以设f（x）=a（x-1）²+2，a＜0，
由f（-2）=a（-2-1）²+2=-16得a=-2，
所以f（x）=-2（x-1）²+2=-2x²+4x，
即所求函数y=f（x）的解析式为f（x）=-2x²+4x．
（2）①当t+1≤1即t≤0时，
y=f（x）在[t，t+1]上单调递增，
所以f（x）_max=f（t+1）=-2（t+1-1）²+2=-2t²+2；
②当t≥1时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递减，
所以f（x）_max=f（t）=-2（t-1）²+2=-2t²+4t；
③当t＜1＜t+1即0＜t＜1时，y=f（x）在[t，1]上单调递增，在[1，t+1]上单调递减，
所以f（x）_max=f（1）=-2（1-1）²+2=2．
综上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}-2{t}^{2}+2，t≤0\\ 2，0＜t＜1\\-2{t}^{2}+4t，t≥1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．