Question

4．已知二阶矩阵M有特征值λ=-1及对应的一个特征向量$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，且矩阵M对应的变换将点（2，-1）变换成（3，1）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的逆矩阵．

Answer 1

分析 （1）设M=$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$，由题意得：$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$$[\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right.]$=$[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right.]$，解得矩阵M，
（2）先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，

解答 （1）设M=$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$，由题意得：$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$，
即$\left\{\begin{array}{l}a-3b=-1\\ c-3d=3\end{array}\right.$  ①；…（3分）
$[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right.]$$[\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right.]$=$[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right.]$，即$\left\{\begin{array}{l}2a-b=3\\ 2c-d=1\end{array}\right.$  ②；…（5分）
由①②，得M=$[\begin{array}{cc}2&1\\ 0&-1\end{array}\right.]$…（8分）
（2）矩阵的行列式为$\left|\begin{array}{cc}2&1\\ 0&-1\end{array}\right|$=-2-0=-2，
∴求矩阵M的逆矩阵M^-1=$[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&-1\end{array}\right.]$…（10分）

点评 本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵M的特征值，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式．