题目内容
某分公司经销一种新中国成立60周年的纪念品，每件产品的成本为3元，并且每卖出一件产品需向总公司上交m元（m为常数，3≤m≤6）的管理费．设每件产品的日售价为x元（9≤x≤11），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件成品的日售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该分公司的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件成品的日售价为多少元时，该分公司的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
【答案】分析：（1）日销售量与ex成反比例，利用每件成品的日售价为40元时，日销售量为10件，求出比例系数，再结合利润=收入-支出问题可以得到解决．
（2）求解函数的最值，导数是十分重要的工具，利用分段函数的性质进行求解．
解答：解：（1）设日销售量为
，则
=10，∴k=10e40．…（1分）
则日销售量为
．…（2分）
日售价为x元时，每件利润为（x-3-m），
则日利润L（x）=（x-3-m）
．
=10e40•
…6
（2）L′（x）=10e40•
=10e40•
…（8分）
①当3≤m≤5时，7≤4+m≤9，当9＜x＜11时，L′（x）＜0
∴L（x）在（9，11）上是单调递减函数．
∵当x=9时，L（x）取的最大值为10（6-m）e31．…（11分）
②当5＜m≤6时，9＜4+m≤10，令L′（x）=0，得x=m+4．
x∈（9，m+4）时，L′（x）＞0 L（x）在（9，m+4）上是单调递增函数．
x∈（m+4，11）时，L′（x）＜0，L（x）在（m+4，11）上是单调递减函数．
∵L（x）在[9，11]上连续，∴当x=m+4时，L（x）取的最大值为10e36-m．…（14分）
由①②知
…（16分）
点评：本题考查函数的性质和应用，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，属于中档题．
（2）求解函数的最值，导数是十分重要的工具，利用分段函数的性质进行求解．
解答：解：（1）设日销售量为
，则=10，∴k=10e40．…（1分）则日销售量为
．…（2分）日售价为x元时，每件利润为（x-3-m），
则日利润L（x）=（x-3-m）
．=10e40•
…6（2）L′（x）=10e40•
=10e40• …（8分）①当3≤m≤5时，7≤4+m≤9，当9＜x＜11时，L′（x）＜0
∴L（x）在（9，11）上是单调递减函数．
∵当x=9时，L（x）取的最大值为10（6-m）e31．…（11分）
②当5＜m≤6时，9＜4+m≤10，令L′（x）=0，得x=m+4．
x∈（9，m+4）时，L′（x）＞0 L（x）在（9，m+4）上是单调递增函数．
x∈（m+4，11）时，L′（x）＜0，L（x）在（m+4，11）上是单调递减函数．
∵L（x）在[9，11]上连续，∴当x=m+4时，L（x）取的最大值为10e36-m．…（14分）
由①②知
…（16分）点评：本题考查函数的性质和应用，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，属于中档题．
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元的管理费，预计当每件产品的售价为
元时，一年的销售量为(12－x)2万件．