Question

12．在等差数列{a_n}中，已知a₁=1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，b₂=2，且S_n+2=4S_n+3，n∈N^*．
（1）求a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n（b_n-1），数列{c_n}的前n项和为T_n，若（-1）ⁿλ≤n（T_n+n²-3）对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的关系建立方程进行求解即可．
（2）求出数列{c_n}的前n项和为T_n，利用错位相减法进行求和，利用参数分离法，结合n的奇数和偶数进行讨论，转化为求最值即可求解即可．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，已知a₁=1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴a₁a₅=a₂²，
即a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²，
即a₁²+4a₁d=a₁²+2a₁d+d²，
即2d=d²，
∵d≠0，∴d=2，则a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵S_n+2=4S_n+3，n∈N^*．
∴当n≥2时，S_n+1=4S_n-1+3，n∈N^*．
两式相减得S_n+2-S_n+1=4S_n-4S_n-1．
即b_n+2=4b_n
∴数列{b_n}从2项开始，所有的偶数项和所有的奇数项分别构成公比为4的等比数列，
当n=1时，S₃=4S₁+3，得b₃=4，
即当n=2k+1，k∈N₊，时，b_n=b₃•4${\;}^{\frac{n+3}{2}}$=4×2^n-3=2^n-1，
∵b₁=1也满足上式，
∴当n是奇数时，b_n=2^n-1，
当n是偶数时，b_n=2×${4}^{\frac{n+2}{2}}$=2^n-1，
综上b_n=2^n-1．
（2）c_n=a_n（b_n-1）=（2n-1）（2^n-1-1）=（2n-1）•2^n-1-（2n-1），
∴T_n=（1×2⁰-1）+（3×2-3）+（5×2²-5）+…+[（2n-1）2^n-1-（2n-1）]
=[1×2⁰+3×2+5×2²+…+[（2n-1）2^n-1]-[1+3+5+…+（2n-1）]
=[1×2⁰+3×2+5×2²+…+[（2n-1）2^n-1]-$\frac{n（1+2n-1）}{2}$
=[1×2⁰+3×2+5×2²+…+[（2n-1）2^n-1]-n²，
设m=1×2⁰+3×2+5×2²+…+[（2n-1）2^n-1，
2m=1×2¹+3×2²+5×2³+…+[（2n-1）2ⁿ，
∴两式相减得-m=1+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-[（2n-1）2ⁿ
=1+2×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-[（2n-1）2ⁿ=-3-（2n-3）2ⁿ，
∴m=3+（2n-3）2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）2ⁿ-n²，
∴n（T_n+3+n²）=n（2n-3）2ⁿ=（2n²-3n）2ⁿ，
令d_n=（2n²-3n）2ⁿ，
则d_n+1-d_n=[2（n+1）n²-3（n+1）]2ⁿ⁺¹-（2n²-3n）2ⁿ=（2n²+5n-2）2ⁿ＞0，
∴d_n+1＞d_n，记{d_n}单调递增，
当n是奇数时，
-λ≤（2n²-3n）2ⁿ，记λ≥-（2n²-3n）2ⁿ，
∵n=1时，[（2n²-3n）2ⁿ]_min=-2，
∴-（2n²-3n）2ⁿ≤2，
∴λ≥2，
当n是偶数时，λ≤（2n²-3n）2ⁿ，
∵n=2时，[（2n²-3n）2ⁿ]_min=8，
∴λ≤8，
综上2≤λ≤8．

点评 本题主要考查递推数列的应用，利用数列的递推关系，结合错位相减法是解决本题的关键，综合性较强，难道较大．